定理：当N为任何一个大于2的正整数时，正整数公式X^N+Y^N=Z^N无整数解使之成立。证：根据毕达哥拉斯整数方程X^2+Y^2=Z^2可知，毕达哥拉斯方程有一个基本性质，当一组数为毕达哥拉斯数组X=（2AB)K，Y=(A^2-B^2)K，Z=(A^2+B^2)K时，(A>0，B>0，A=/=B)则有X^2+Y^2=Z^2成立，（充分条件）若当一组数不为毕达哥拉斯数组（2AB)K，(A^2-B^2)K，(A^2+B^2)K时，则无X^2+Y^2=Z^2成立，（必要条件）由此我们知道：（2AB)K，(A^2-B^2)K，(A^2+B^2)K是方程X^2+Y^2=Z^2成立的充分必要条件。（充要条件）因此，（2AB)K，(A^2-B^2)K，(A^2+B^2)K是方程X^2+Y^2=Z^2的唯一整数解，故毕达哥拉斯方程可以写成{(2AB)K}^2+{(A^2-B^2)K}^2={(A^2+B^2)K}^2。也就是说，除了(2AB)K，(A^2-B^2)K，(A^2+B^2)K能使方程x^2+Y^2=Z^2成立外，再其它的任何三个自然数组成的数组都不是方程X^2+Y^2=Z^2的解，这时公式可以写成X^2+Y^2=/=Z^2。我们现在来看当X=(2AB)K，Y=(A^2-B^2)K，Z=(A^2+B^2)K这三个数组中的K值等于(A^2+B^2)时，则方程为（2AB)(A^2+B^2)+(A^2-B^2)(A^2+B^2)=(A^2+B^2)(A^2+B^2)。等号右边的Z是一个四次方数，但等号左边的Y却不是四次方数，因为（A^2-B^2)(A^2+B^2)=/=(A^2-B^2)^2。若当K=(A^2-B^2)时，这时方程的等号右边的Z就不是一个完全平方数了，这就是费尔马所说的绝妙处，即当K值不管为什么数，(A^2-B^2)K与(A^2+B^2)K这两个数不可能同时成为一个同次幂数。用费尔马的绝妙证明方法可以证明大于2的偶次幂。即：X^2N+Y^2N=/=Z^2N。这个证明方法比欧拉的证明方法要好。