且由引理五知为.故知,的开段正是能同时满足上述条件(1)、(2)的,所以2.故由引理七知
是受最大筛除的段,段内有且仅有二个.因此,当受最小实筛时,原命题成立.
由一、二知,当时,在中受最大筛除的段内有且仅有二个.
由Ⅰ、Ⅱ知,时,原命题成立!
由定理一易证推论二.
推论二. 在个连续整数中至少有一个.
定理二. 在个连续整数中至少有二个.
证明:令,且作连续奇数集.
由引理一知,在集合内的与集合内的间存在透视对应,故由定理一知,在个连续奇数中至少有二个.故知在个连续整数中,至少有二个.
由定理二易知推论三.
推论三. 在个连续奇数中至少有一个.
定理三. 当为自然数时,在与之间至少有二个素数.
证明:(1)当时,由验证知,与之间至少有二个素数.
(2)当时,在闭区间内有个小于的连续整数.故由定理一及素数判别法知,与之间至少有二个素数.
(3)当时,在开区间内有个小于的连续整数,故由定理二及素数判别法知,与之间至少有二个素数.
故由(1)、(2)、(3)知,当为自然数时,在与之间至少有二个素数.
定理四.当为自然数时,
证明:
Ⅰ.时,.由验证知:成立.
Ⅱ.当时:必存在使.
一、当时:
1、当时,
∵. ∴.
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